MATEMATICAS APLICADAEste blog fue creado con el objetivo de acercar a lector a los temas relacionados con las matematicas aplicadas, y asi mismo darle una enseñanza y que el mismo ponga en practica lo visto por medio de ejercicios del tema visto.

Aguiar Córdova Luis Armando, Alvarez Rodriguez Jesús le damos la bienvenida a nuestro blogg, el cual fue elaborado para la clase de Matemáticas Aplicadas del Grupo 6ª "P" con el profesor David Coronado. Este blogg fue elaborado como trabajo del tercer parcial ya que en este veremos todos los temas visto del semestre Enero-Junio.


  DIFERENCIAL

 Aproximaciones Y La Diferencial

 La derivada de una función con respecto a una variables el limite del incremento de la funcion entre el incremento de la variable, cuando el incremento de la variable tiende a cero.

 derivada=dydx=limΔx→0ΔyΔx

Cuando el limite de la razón existe, se dice que la función tiene una derivada. Siempre hay que recordar que una derivada puede interpretarse como un limite, velocidad instantánea o como la pendiente algebraica de la tangente en un punto de la función.

 DIFERENCIALES: La diferencial de una función es el producto de la derivada de la función por el incremento de la variable independiente, es decir; dy=y´∗Δx donde dy significa "la diferencial de la función y". 


Un poco mas de teoría presione AQUÍ 

video explicativo de diferencial:

Anti derivada

 Es la adición y la sustracción, son operaciones inversas al igual que la divicion y la multiplicación, lo mismo puede decirse de elevar una potencia y extraer la raíz correspondiente.

En el cálculo diferencial se estudia el problema para obtener la derivada f'(x). Ahora nos ocuparemos del problema inverso, es decir, dada la derivada f'(x) buscamos obtener la funcion f(x).


 Definicion:

A una funcion F se le llama ANTIDERIVADA de una funcion f, si F(x) = f(x).

A la operacion de calcular la anti derivada (primitiva) de una función se le llama integración. Se representa con el simbolo ∫ que es la inicial de la palabra suma. Si F(x) es una funcion primitiva de f(x) se expresa: ∫f(x)dx=F(x)+c El signo de integracion se lee: "integral de" f(x)- integrando. dx- diferencial de la variable. F(x)- Funcion primitiva. C- Constante de la integracion.

video sobre anti derivadas:

Integrales Inmediatas.

Integrales inmediatas son las que salen directamente por la propia definición de integral, es decir, la que se puede resolver de forma más o menos intuitiva pensando en una función que cuando se derive me dé la que está en la integral.

Se les llama inmediatas ya que el método que se usa  teniendo en cuenta las derivadas elementales, conseguir en el integrando una función multiplicada por su derivada. De este modo, por la regla de la cadena, la primitiva es dicha función más cualquier constante (puesto que la derivada de una constante es 0).

Recordamos que las constantes pueden entrar y salir de la integral si están multiplicando y que la integral de la suma de funciones es la suma de las integrales de las funciones.

Las formulas de las integrales son:

video sobre integrales inmediatas:

metodos de integracion: 

 Por Partes.

Con el metodo de integracion por partes, podemos integrar funciones que pueden expresarse como un producto de una función derivada de otra. 

Eligiendo adecuadamente los valores de  y , puede simplificarse mucho la resolución de la integral.

La formula de la integracion por partes se deduce de la derivada de un producto de dos funciónes:

∫u.dv=uv−∫vdu 

 

La cúal la regla nemotecnia la describe "UN DIA VI UN VACA SIN COLA VESTIDA DE UNIFORME."

video para comprender este metodo:

Sustitución Trigonométrica:

Las sustituciones que involucran funciones trigonométricas se pueden llevar a cabo en aquellas integrales cuyo integrando contiene una expresión trigonometrica. Esta permite transformar una integral en otra que contiene funciones trigonométricas cuyo proceso de integración es más sencillo. Usando un triangulo como guia.

El metodo por sustitucion trigonometrica se aplica en tres casos: 

Caso I 

a2−u2−−−−−−√=acosθconu=asenθdondesenθ=ua

 

Caso II

a2+u2−−−−−−√=asecθconu=atanθdondetanθ=ua

 

Caso III

u2−a2−−−−−−√=atanθconu=asecθdondesecθ=ua

 

En estos casos donde (u) es una funsión y (a) es un numero, ademas sera necesario aplicar algunas identidades trigonometricas bastante utiles a la hora de sacarle raiz cuadrada a un valor.

video eexplicativo:

otro caso:

otro caso:

cuando no hay raises:

fracciones parciales.

El metodo de las fracciones parciales conciste en reducir un cociente de polinomios en fracciones más simples, es decir, se trata de encontrar la suma de  qué fracciones da como resultado la fraccion dada, que permitan obtener de manera inmediata un integral, para ello se utilizarán algunos métodos de factorizacíon, suma o resta de fracciones algebraicas y el método de reduccion para sistemas de ecuaciones lineales.

Se llema función racional a toda función del tipo

f(x)=p(x)q(x)

ejemplo:

video explicativo:

otro ejemplo:

integral indefinida:

Suma de Riemann Y Aproximacion del área bajo la curva:

Suma de Riemann: es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema fundamental del cálculo.

Si P es una partición con n elementos de I, entonces la suma de Riemann de f sobre I con la partición P se define como:

s=∑i=1nf(yi)(xi−xi−1)

Para saber la longitud de los intervalos es decir la medida en que se dividirán se usa la siguiente expresión.

Δx=b−an

video sobre suma de riemann:

Propiedades y notación de la sumas de Riemann:

En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema fundamental del cálculo.

Si llamamos A1,A2.....An a cada una de las areas de los rectangulos las sumatorias de las áreas se representa por:

∑i−1nAi=A1+A2+...+An

Donde los simbolos n representa el numero de rectangúlos que se tomen, ya sean inscritos o circunscritos. La letra "i" es llamdo indice de la sumatoria determina el numero a sumarse.

Las areas superiores e inferiores se suman de la siguiente manera:

Suma de áreas inferiores:

∑i=1nf(mi)Δx

Suma de áreas superiores:

∑i=1nf(Mi)Δx

T.F.C.

Integral Definida:

El área de una región limitada por un intervalo [a,b], se puede ver como una integral definida, donde si tenemos a y=f(x) como una función continua en el intervalo cerrado [a,b], se tiene que el área de la región limitada por la función y = f(x), el eje "x" y las rectas verticales x = a y x = b viene dada por el numero real.                                                   

area=∫baf(x)dx

 Si tenemos una función "f(x)" continua en un intervalo [a,b] y F(x) y como la antiderivada de "f(x)" en [a,b], entonces:

∫baf(x)dx=F(b)−F(a)

Este resultado es la Regla de Barrow y nos relaciona la integral definida (y por lo tanto el cálculo de áreas) y la teoria de la integracion (como cálculo de primitivas o anti derivadas).

video sobre el tema:

Cálculo de áreas y de volúmenes:

Para determinar el área bajo la curva en un intervalo hay que tener en cuenta que la antiderivada de la funcion ya la obtuvieron con los diferentes métodos de integración en los temas anteriores que son las espresiones de los resultados de las integrales indefinidas.

Si f es continua en [a,b], y f es la antiderivada de f en el intervalo, donde F'(x) = f(x). 

Entonces:

∫baf(x)dx=F(b)−F(a)

Cálculo de volumenes:
Despues de calcular el area bajo la curva, esa area la vamos a girar sobre los ejes x para obtener el volumen del cuerpo geómetrico que se forma y ási determina dicho volúmen mediante la formula:

Si esta girado en el eje "x" la fórmula para calcular el volumen es:

V=π∫ba[f(x)]dx

EJEMPLO:
Calcula el volumen del solido de revolucion que se forma al girar al rededor de eje "x" la funcion f(x)=2 en el intervalo [-2,3]

v=π∫3−2[2]2dx=π∫3−24dx=4π∫3−2dx 

v=4π[x]3−2=4π(3−(−2))

 v=4π(5)=20πu3

video explicativo:

video